Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+3，當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由f（x）≥a恒成立對一切-2≤x≤2恒成立可得，下面對x進(jìn)行分類討論：①當(dāng)x∈（1，2]時，a≥

-x2- 3

x-1

在x∈（1，2]恒成立；②當(dāng)x∈[-2，1）時，a≤

-x2- 3

x-1

在x∈[-2，1）恒成立．分別求得a的范圍，最后綜上所述，即得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+3，當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，
∴（x-1）a≥-x²-3，當(dāng)x∈[-2，2]時恒成立，
①當(dāng)x∈（1，2]時，
∴a≥

-x2- 3

x-1

在x∈（1，2]恒成立
令 g(x)=

-x2-3

x-1

，x∈（1，2]即a≥g（x）_max
而 g(x)=

-x2-3

x-1

在x∈（1，2]上的最大值為：-7，
∴a≥-7；
②當(dāng)x∈[-2，1）時，
∴a≤

-x2- 3

x-1

在x∈[-2，1）恒成立
令 g(x)=

-x2-3

x-1

，x∈[-2，1），
即a≤g（x）_min
而 g(x)=

-x2-3

x-1

在∈[-2，1）上的最小值為

7

3

，
∴a≤

7

3

；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍：[-7，

7

3

]．

點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，此類問題常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．