Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時(shí)，f（x）＞0，證明：f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）在條件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x²+1）-f（2x+5）＜4．

Answer 1

（1）解：∵x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0，得f（0）=0；又令y=-x得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x），因此f（x）是R上的奇函數(shù)；…（4分）
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），因此f（x）在R上為增函數(shù)；…（9分）
（3）解：∵f（1）=2，∴f（2）=2f（1）=4…（11分）
由f（x²+1）-f（2x+5）＜4，可得f（x²+1）＜f（2x+5）+f（2）
∴f（x²+1）＜f（2x+7）
由（2）可得x²+1＜2x+7，即x²-2x-6＜0
解得…（14分）
分析：（1）利用條件x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y），分別賦值，令x=y=0，及y=-x，利用奇函數(shù)的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)單調(diào)性的證題步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，即可證明；
（3）先計(jì)算f（2）=2f（1）=4，再將抽象函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，解不等式，即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查抽象函數(shù)的性質(zhì)證明與運(yùn)用，考查賦值法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．