已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1．

求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．

答案：
解析：

　　證明：假設(shè)a、b、c、d都不是負(fù)數(shù)，

　　即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0．

　　∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0．

　　∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1

　�。�(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1．

　　∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0，

　　∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1．

　　與ac＋bd＞1相矛盾．∴假設(shè)不成立．

　　∴a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．

　　思路分析：本題要證a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)，具體有一個(gè)負(fù)數(shù)？?jī)蓚�(gè)負(fù)數(shù)？三個(gè)負(fù)數(shù)？還是四個(gè)負(fù)數(shù)？都有可能，誰是負(fù)數(shù)也都有可能．所以正面證明很復(fù)雜，對(duì)于“至多”“至少”性問題可用反證法．


提示：

對(duì)于“至多”“至少”類命題的證明，常用反證法．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

6、給出如下四個(gè)命題：
①對(duì)于任意一條直線a，平面α內(nèi)必有無數(shù)條直線與a垂直；
②若α、β是兩個(gè)不重合的平面，l、m是兩條不重合的直線，則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是l⊥α，m⊥β，且l∥m；
③已知a、b、c、d是四條不重合的直線，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，則“a∥b”與“c∥d”不可能都不成立；
④已知命題P：若四點(diǎn)不共面，那么這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線．
則命題P的逆否命題是假命題上命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c，d都是正數(shù)，S=
a
a+b+d
+
b
b+c+a
+
c
c+d+a
+
d
d+a+c
，則S的取值范圍是
（1，2）
（1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b，c＞d，且a，b，c，d均不為0，那么下列不等式成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C、D四點(diǎn)不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=G，BC∩α=H，則四邊形EFGH是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，用分析法證明：
a2+b2
+
c2+d2
≥
(a+c)2+(b+d)2
．

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