Question

樹(shù)林的邊界是直線l（如圖所示），一只兔子在河邊喝水時(shí)發(fā)現(xiàn)了一只狼，兔子和狼分別位于l的垂線AC上的點(diǎn)A點(diǎn)B點(diǎn)處，AB=BC=a（a為正常數(shù)），若兔子沿AD方向以速度2μ向樹(shù)林逃跑，同時(shí)狼沿線段BM（M∈AD）方向以速度μ進(jìn)行追擊（μ為正常數(shù)），若狼到達(dá)M處的時(shí)間不多于兔子到達(dá)M處的時(shí)間，狼就會(huì)吃掉兔子．
（1）求兔子被狼吃掉的點(diǎn)的區(qū)域面積S（a）；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ（θ=∠DAC）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖建立坐標(biāo)系xOy，設(shè) A（0，2a），B（0，a），M（x，y），由

BM

μ

≤

AM

2μ

，求得x2+(y-

2a

3

)2≤

4a2

9

．由此求得圓的面積S（a）的值．
（2）設(shè)l_AD：y=kx+2a（k≠0），由

|2a- 2a 3 |

1+k2

＞

2a

3

求得斜率k的范圍，即可求得θ的范圍．

解答：解：（1）如圖建立坐標(biāo)系xOy，設(shè) A（0，2a），B（0，a），M（x，y），
由

BM

μ

≤

AM

2μ

，得x2+(y-

2a

3

)2≤

4a2

9

．所以M在以(0，

2a

3

)為圓心，半徑為

2a

3

的圓及其內(nèi)部．
所以，s(a)=

4a2

9

π．-------（8分）
（2）設(shè)l_AD：y=kx+2a（k≠0），由

|2a- 2a 3 |

1+k2

＞

2a

3

⇒k∈(-

3

，0)∪(0，

3

)，
可得 0＜∠ADB＜

π

3

，所以，θ∈(

π

6

，

π

2

)．---------（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于中檔題．