Question

已知f（x）=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀處取得最大值，以下各式正確的序號(hào)為（　�。�
①x₀＜1；
②x₀＞1；
③f（x₀）＜x₀；
④f（x₀）=x₀；
⑤f（x₀）＞x₀．

• A、①③
• B、①④
• C、②④
• D、②⑤

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′(x)=

1+x x -lnx

(1+x)2

-

1

x

=-

x+1+lnx

(1+x)2

，令g（x）=x+1+lnx，將g（x）=lnx+x+1的零點(diǎn)看成y=lnx與y=-1-x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)處理，得g（x）=lnx+x+1的零點(diǎn)只有一個(gè)，即為題中的x₀，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵f（x）=

lnx

1+x

-lnx，
∴f′(x)=

1+x x -lnx

(1+x)2

-

1

x

=

1+x-xlnx

x(1+x)2

-

x2+2x+1

x(1+x)2

=-

x+1+lnx

(1+x)2

，
令g（x）=x+1+lnx，
將g（x）=lnx+x+1的零點(diǎn)看成y=lnx與y=-1-x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)處理，
∴g（x）=lnx+x+1的零點(diǎn)只有一個(gè)，
即為題中的x₀，且x₀＞1．故①錯(cuò)誤，②正確；
∵g（x）=lnx+x+1的零點(diǎn)看成y=lnx與y=-1-x的交點(diǎn)，
∴-x₀-1=lnx₀，
∴f（x₀）=

-x0lnx0

1+x0

=x₀，故④正確，③⑤均錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查真假命題的判斷，是中檔題，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的合理運(yùn)用．