【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有成立,記.
(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證:①對(duì)恒成立.②對(duì)恒成立,其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(3)記,為的前n項(xiàng)和,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,都有.
【答案】(1),;(2)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)利用遞推關(guān)系式證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)①利用(1)中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式,化簡(jiǎn),由此證得.
②將分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況,利用分組求和法,證得對(duì)恒成立.
(3)化簡(jiǎn),得到,利用放縮法證得.
(1)解:當(dāng)時(shí),,∴.
又∵,,
∴,即,
∴數(shù)列成等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,公比,
∴,∴;
(2)證明:①由(1)知.
注意到,所以
∵;
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè),
則;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè),
則,
∴對(duì)一切的正整數(shù)n,都有;
(3)證明:由(1)知,
得
.
又,,∴,
∴當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線及圓.
(1)求直線所過(guò)定點(diǎn);
(2)求直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量,某企業(yè)質(zhì)量管理部門(mén)經(jīng)常不定期地抽查產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),現(xiàn)在某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對(duì)比,并對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評(píng)分(滿分100分),將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.
(1)求圖中的值,并求綜合評(píng)分的中位數(shù);
(2)用樣本估計(jì)總體,以頻率作為概率,按分層抽樣的思想,先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品,再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù),求這2個(gè)產(chǎn)品中恰有一個(gè)一等品的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列與正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和,且對(duì)任意,恒成立.
(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的條件下,若,求;
(3)若對(duì)任意,恒有及成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列五個(gè)命題:①過(guò)點(diǎn)的直線方程一定可以表示為的形式;②過(guò)點(diǎn)且在x,y軸截距相等的直線方程是;③過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是;④設(shè)點(diǎn)不在直線上,則過(guò)點(diǎn)M且與直線l平行的直線方程是;⑤點(diǎn)到直線的距離不小于2.以上命題中,正確的序號(hào)是( )
A.②③⑤B.④⑤C.①④⑤D.①③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將4名大學(xué)生隨機(jī)安排到A,B,C,D四個(gè)公司實(shí)習(xí).
(1)求4名大學(xué)生恰好在四個(gè)不同公司的概率;
(2)隨機(jī)變量X表示分到B公司的學(xué)生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求;
(3)判斷數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果不是等差數(shù)列,但若,使得,那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4,記事件:集合,事件:為“局部等差”數(shù)列,則條件概率( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,.
(1)求的外接圓圓M的方程;
(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線上,過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線PE,PF,切點(diǎn)分別為E,F.
①記四邊形PEMF的面積分別為S,求S的最小值;
②證明直線EF恒過(guò)定點(diǎn).
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