Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)；
（2）求證：0≤a_n+1＜a_n＜1；
（3）若，求證：（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于x∈（0，1）時，f'（x）=1-cosx＞0恒成立，可得函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明0≤a_n+1＜a_n＜1成立．
（3）先用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性證明 ，再證明a₁= 時，a_n≤，由此即可證得
結(jié)論．
解答：證明：（1）∵x∈（0，1）時，∴f'（x）=1-cosx＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)．…（3分）
（2）∵a₂=f（a₁）=a₁-sina₁，∴a₂-a₁=-sina₁ ．
∵0＜a₁＜1，∴∴six＜x 恒成立．…（5分）
1當(dāng)n=1時，0＜a₁＜a₂＜12 命題成立．
3假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即0≤a_k+1＜a_k＜14，
∵0=f（0）＜f（x）＜f（1）=1-sin1＜1恒成立，…（8分）
∴f（0）＜f（a_k+1）＜f（a_k）＜f（1），即 0≤a_k+2＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故當(dāng) n=k+1時，命題成立．
根據(jù)①②可知對于任意n∈N*命題0≤a_n+1＜a_n＜1均成立；
（3）證明：先證明 ，即證 a_n+1-=a_n-sina_n-＜0，a_n∈（0，1）．
令∅（x）=x sinx-，x∈（0，1），則∅′（x）=-x+1-cosx．
再令g（x）=∅′（x），則g′（x）=-1+sinx≤0，故g（x）=∅′（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
故∅′（x）＜∅′（0）=0，故∅（x）在（0，1）上是減函數(shù)，故∅（x）＜∅（0）=0 恒成立．
再由a_n∈（0，1），∅（a_n）＜0，即 a_n-sina_n-＜0，故有 ．
再證明a₁= 時，a_n≤．
由  可得 ＜． 再由a_n＜a_n-1＜a_n-2＜…＜a₂＜a₁，
當(dāng)n≥2時，a_n=a₁••…＜a₁••…＜a₁••… 
==＜=，
即 a_n＜． …（14分）
點評：本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列與函數(shù)的綜合，用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題．