Question

【題目】已知拋物線的焦點為為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有．當點橫坐標為時，為正三角形．

（1）求的方程；

（2）若直線，且和 有且只有一個公共點．

①證明直線過定點，并求出定點坐標；

②的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，；②存在，．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線的焦半徑公式，結合等邊三角形的性質，求出的值，即可求解拋物線的方程；（2）①設出點的坐標，求出直線的方程，利用，且和有且只有一個公共點，求出點的坐標，寫出直線的方程，將方程化為點斜式，即可求解定點的坐標；②中由①知直線過焦點，所以．設直線的方程為，再由直線的點斜式，利用點到直線的距離公式，再利用基本不等式即可求解結論．

試題解析：（1）由題意知，設，則的中點為，因為，由拋物線的定義知，解得或（舍去）．由，解得，所以拋物線的方程為．

（2）①證明：由（1）知，設，因為，則，由得，，故，故直線的斜率，因為直線和直線平行，設直線的方程為，代人拋物線的方程得，由題意，得，設，則，當時，，可得直線的方程為，由，整理可得，直線恒過點．當時，直線的方程為,過點．所以直線過定點．

②由①知直線過焦點，所以．設直線的方程為，因為點在直線上，故，設，直線的方程為，由，得，代人拋物線的方程得，所以，可求得．所以點到直線的距離為，則的面積，當且僅當，即時，等號成立．所以的面積的最小值為．