Question

已知函數(shù)，其中a，b∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：求導(dǎo)得：f′（x）=1-，
（1）f′（x）≥0，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=1，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=1-＞0，故函數(shù)在（-∞，0）與（0，+∞）上都是增函數(shù)
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=1-＞0，得x＞或x＜-故函數(shù)在（-∞，-）與（，+∞）上都是增函數(shù)，在（-，0）與（0，）都是減函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)
由（1）知a≤0時(shí)，滿足題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在（，+∞）上是增函數(shù)，在（0，）是減函數(shù)，故當(dāng)≤1或≥2時(shí)，符合題意解得0＜a≤1或a≥4，
綜上，符合條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]∪[4，+∞）
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=1-，由于a∈R，分a=0，a＜0，a＞0三類研究函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）由（1）的結(jié)論，討論在哪些情況下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在（1，2）上符號(hào)恒正或者恒負(fù)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題（1）屬于第一種類型．（2）屬于第二種題型．