Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=

1

3

（a_n-1）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值．
（2）求a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）先把n=1代入S_n=

1

3

（a_n-1）可以求得首項(xiàng)，再把n=2，3依次代入即可求出a₂，a₃的值．
（2）直接利用a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再整理得到規(guī)律即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由S₁=a₁=

1

3

（a₁-1），得a₁=-

1

2

．
S₂=a₁+a₂=

1

3

（a₂-1）得a2=

1

4

同理a3=-

1

8

．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=

1

3

（a_n-1）-

1

3

（a_n-1-1）?-2a_n=a_n-1?

an

an-1

=-

1

2

所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為-

1

2

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．
所以a_n=(-

1

2

)n

點(diǎn)評(píng)：本題第二問(wèn)考查了已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．