Question

（本題滿分12分）

函數對任意實數都有,

（Ⅰ）分別求的值；

（Ⅱ）猜想 的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ），

      --------6分

（Ⅱ）猜想，               ---------8分

下用數學歸納法證明之.

（1）當n=1時,f(1)=1,猜想成立；

（2）假設當n=k時，猜想成立，即 f(k)=k²

則當n=k+1時， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k×1=k²+2k+1=(k+1)²

即當n=k+1時猜想成立。

由（1）、（2）可知，對于一切n∈N^*猜想均成立。          ---------12分

考點：抽象函數及應用；數學歸納法。

點評：本題目主要考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值，及數學歸納法在證明數學命題中的應用。屬于中檔題。