設(shè)F1(-1，0)，F2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=
7
7
(x-1)與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求
F1A 
•
F1B
的值．
分析：（1）直接由橢圓的定義得到所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，由已知條件求出a和c，繼而求出b的值，則軌跡方程可求；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，由根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和與積，寫出向量的坐標(biāo)表示，展開(kāi)數(shù)量積運(yùn)算，代入根與系數(shù)關(guān)系后整理得答案．
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），
∵F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），∴|MF1|+|MF2|=2
2
＞2=|F1F2|，
則M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，以2
2
為長(zhǎng)軸的橢圓，
則a=
2
，c=1，b2=a2-c2=1．
方程為：
x2
2
+y2=1；
（2）聯(lián)立
y=
7
7
(x-1)
x2
2
+y2=1
，得9x2-4x-12=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
4
9
，x1x2=-
12
9
．
F1A
=(x1+1，y1)，
F1B
=(x2+1，y2)，
∴
F1A 
•
F1B
=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）
=（x1+1）（x2+1）+y1y2=
8
7
x1x2+
6
7
(x1+x2)+
8
7

=
8
7
×(-
12
9
)+
6
7
×
4
9
+
8
7
=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•徐匯區(qū)二模）設(shè)F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足|
PF1
|+|
PF2
|=4．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．

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設(shè)F1(-c，0)、F2(c，0)是橢圓+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，若∠PF1F2=5∠PF2F1，求橢圓的離心率

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設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-1，0 )和F2(1，0 ) 的距離分別為d1和d2，∠F1PF2=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ，
（1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）如圖過(guò)點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在λ，使△F1AB是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由。

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已知F1(-1，0)、F2(1，0)，圓F2：（x-1）2+y2=1，一動(dòng)圓在y軸右側(cè)與y軸相切，同時(shí)與圓F2相外切，此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與曲線E相交于第一象限點(diǎn)P，且，求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的條件下，直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．

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