【題目】已知斜率存在且不為0的直線過(guò)點(diǎn),設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),橢圓的左頂點(diǎn)為.
(1)若的面積為,求直線的方程;
(2)若直線分別交直線于點(diǎn),且,記直線的斜率分別為.探究:是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)或. (2)是,定值為
【解析】
(1)設(shè),,設(shè)直線,根據(jù)題意求出,由求出, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理求出即可;
(2)設(shè)直線的方程為:與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程,設(shè),,利用韋達(dá)定理求出,利用點(diǎn)斜式求出直線的方程,進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo),利用平面向量坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,代入斜率公式求出直線的斜率即可求解.
(1)設(shè),,
因?yàn)?/span>,橢圓的左頂點(diǎn)為,所以,
故,
故,
設(shè)直線,代入橢圓的方程中,整理得,
所以,,
故,
解得,,
故直線的方程為或.
(2)由題意得,設(shè)直線的方程為:,
與橢圓方程聯(lián)立可得,
整理得,
設(shè),,
則①,②,
又,所以直線的方程為,
令,解得,
同理可得,,設(shè),
所以,
因?yàn)?/span>,所以,,
將①②代入上式并化簡(jiǎn)可得,
所以直線的斜率為,
故,為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),以線段為直徑的圓與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為,試探究在軸上是否存在一定點(diǎn),使直線恒過(guò)該定點(diǎn),若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)且,,,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與曲線分別交于點(diǎn),,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①:在平行四邊形中,,,將沿對(duì)角線折起,使,連結(jié),得到如圖②所示三棱錐.
(1)證明:平面;
(2)若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,卷一《方田》中有如下兩個(gè)問(wèn)題:
[三三]今有宛田,下周三十步,徑十六步.問(wèn)為田幾何?
[三四]又有宛田,下周九十九步,徑五十一步.問(wèn)為田幾何?
翻譯為:[三三]現(xiàn)有扇形田,弧長(zhǎng)30步,直徑長(zhǎng)16步.問(wèn)這塊田面積是多少?
[三四]又有一扇形田,弧長(zhǎng)99步,直徑長(zhǎng)51步.問(wèn)這塊田面積是多少?
則下列說(shuō)法正確的是( )
A.問(wèn)題[三三]中扇形的面積為240平方步B.問(wèn)題[三四]中扇形的面積為平方步
C.問(wèn)題[三三]中扇形的面積為60平方步D.問(wèn)題[三四]中扇形的面積為平方步
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
在某次考試中,從甲乙兩個(gè)班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,兩個(gè)班成績(jī)的莖葉圖如圖所示,成績(jī)不小于90分的為及格.
(1)用樣本估計(jì)總體,請(qǐng)根據(jù)莖葉圖對(duì)甲乙兩個(gè)班級(jí)的成績(jī)進(jìn)行比較.
(2)求從甲班10名學(xué)生和乙班10名學(xué)生中各抽取一人,已知有人及格的條件下乙班同學(xué)不及格的概率;
(3)從甲班10人中抽取一人,乙班10人中抽取二人,三人中及格人數(shù)記為X,求X的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ) 討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ) 設(shè),當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的,存在,使得≥,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:和直線:,是的焦點(diǎn),是上一點(diǎn),過(guò)作拋物線的一條切線與軸交于,則外接圓面積的最小值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市勞動(dòng)部門(mén)堅(jiān)持就業(yè)優(yōu)先,采取多項(xiàng)措施加快發(fā)展新興產(chǎn)業(yè),服務(wù)經(jīng)濟(jì),帶來(lái)大量就業(yè)崗位,據(jù)政府工作報(bào)告顯示,截至2018年末,全市城鎮(zhèn)新增就業(yè)21.9萬(wàn)人,創(chuàng)歷史新高.城鎮(zhèn)登記失業(yè)率為4.2%,比上年度下降0.73個(gè)百分點(diǎn),處于近20年來(lái)的最低水平.
(1)現(xiàn)從該城鎮(zhèn)適齡人群中抽取100人,得到如下列聯(lián)表:
失業(yè) | 就業(yè) | 合計(jì) | |
男 | 3 | 62 | 65 |
女 | 2 | 33 | 35 |
合計(jì) | 5 | 95 | 100 |
根據(jù)聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為失業(yè)與性別有關(guān)?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)調(diào)查顯示,新增就業(yè)人群中,新興業(yè)態(tài),民營(yíng)經(jīng)濟(jì),大型國(guó)企對(duì)就業(yè)支撐作用不斷增強(qiáng),其崗位比例為,現(xiàn)從全市新增就業(yè)人群(數(shù)目較大)中抽取4人,記抽到的新興業(yè)態(tài)的就業(yè)人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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