Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=3，a_n+1=4a_n-3
（Ⅰ）設(shè)b_n=1og₂（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵a_n+1=4a_n-3，∴a_n+1-1=4（a_n-1）
∵a₁=3，∴a₁-1=2，
∴{a_n-1}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列
∴a_n-1=2×4^n-1=2^2n-1，
∵b_n=1og₂（a_n-1），∴b_n=2n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列
∴S_n==n²；
（Ⅱ）證明：=＞
==1-=
∴．
分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，可得{a_n-1}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，進而利用b_n=1og₂（a_n-1），可得數(shù)列{b_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n
（Ⅱ）先放縮，再利用裂項法，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．