Question

若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間(其中,使得當(dāng)時, 的取值范圍恰為,則稱函數(shù)是上的正函數(shù),區(qū)間叫做函數(shù)的等域區(qū)間.

（1）已知是上的正函數(shù)，求的等域區(qū)間；

（2）試探求是否存在，使得函數(shù)是上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）存在，

【解析】

試題分析：（1）因為是上的正函數(shù)，根據(jù)正函數(shù)的定義建立方程組，解之可求出的等域區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)函數(shù)是上的正函數(shù)建立方程組，消去，求出的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程在上有實數(shù)解進行求解．

試題解析：(1)

(2)假設(shè)存在，使得函數(shù)是上的正函數(shù)，且此時函數(shù)在上單調(diào)遞減

存在使得： （*）

兩式相減得，代入上式：

即關(guān)于的方程在上有解

方法①參變分離：即

令，所以

實數(shù)的取值范圍為

方法②實根分布：令，即函數(shù)的圖像在內(nèi)與軸有交點，，解得

方法③ ：（*）式等價于方程在上有兩個不相等的實根

考點：函數(shù)的值域