Question

(本小題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)與數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，且a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－1a_n＝8n對(duì)任意的n∈N^*都成立，數(shù)列{b_n＋1－b_n}是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）a_n＝2^4－n(n∈N^*)，b_n＝n²－7n＋14(n∈N^*).
（2）不存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1).理由略

解：(1)已知a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－1a_n＝8n(n∈N^*).①
n≥2時(shí)，a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－2a_n－1＝8(n－1)(n∈N^*).②
①－②得2^n－1a_n＝8，解得a_n＝2^4－n，在①中令n＝1，可得a₁＝8＝2^4－1，
所以a_n＝2^4－n(n∈N^*).(4分)
由題意b₁＝8，b₂＝4，b₃＝2，所以b₂－b₁＝－4，b₃－b₂＝－2，
∴數(shù)列{b_n＋1－b_n}的公差為－2－(－4)＝2，
∴b_n＋1－b_n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n²－7n＋14(n∈N^*).(8分)
(2)b_k－a_k＝k²－7k＋14－2^4－k，當(dāng)k≥4時(shí)，f(k)＝(k－)²＋－2^4－k單調(diào)遞增，
且f(4)＝1，所以k≥4時(shí)，f(k)＝k²－7k＋14－2^4－k≥1.
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，所以，不存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1).(12分)