Question

（2013•樂山一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

3

2

(an-1)，n∈N*．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若對于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

3

2

(an-1)，n∈N^*，知a₁=3，Sn+1=

3

2

(an+1-1)．所以a_n+1=Sn+1-Sn=

3

2

(an+1-an)，即a_n+1=3a_n，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）對于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，等價于k≥(

4n+1

3n

)  max，因為{

4n+1

3 n

}是單調減數(shù)列，所以(

4n+1

3 n

)max=

4×1+1

3

=

5

3

，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵Sn=

3

2

(an-1)，n∈N^*，
∴a1=

3

2

(a1-1)，
解得a₁=3．
∵Sn=

3

2

(an-1)，n∈N^*，
∴Sn+1=

3

2

(an+1-1)．
兩式相減，得a_n+1=Sn+1-Sn=

3

2

(an+1-an)，
∴a_n+1=3a_n，
∴{a_n}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
從而{a_n}的通項公式是a_n=3ⁿ，n∈N^*．
（2）由（1）知，對于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，
等價于k≥

4n+1

3 n

對任意的n∈N^*成立，
等價于k≥(

4n+1

3n

)  max，
而

4(n+1)+1 3n+1

4n+1 3n

=

4n+5

3(4n+1)

=1-

8n-2

12n+3

＜1，n∈N₊，
∴{

4n+1

3 n

}是單調減數(shù)列，
∴(

4n+1

3 n

)max=

4×1+1

3

=

5

3

，
∴實數(shù)k的取值范圍是[

5

3

，+∞)．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱條件，合理地進行等價轉化．