Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（a+1）x+lnx，g（x）=x²-2bx-

5

4

．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a=

1

2

時，對任意x₁∈（0，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，取得切線的斜率與切點的坐標(biāo)，即可求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（Ⅲ）對任意x₁∈（0，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_min，分類討論，即可求實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=-x+lnx，
∴f′（x）=-1+

1

x

，f（1）=-1，
∴f′（x）=0
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=

1

2

ax²-（a+1）x+lnx，
∴f′（x）=ax-（a+1）+

1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0，可得x＞1；f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅲ）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx，則f′（x）=

1

2

x+

1

x

-

3

2

，
∵x∈（0，2]，∴f′（x）=

1

2

x+

1

x

-

3

2

≥

2

-

3

2

，
∴f（x）_min=

2

-

3

2

，g（x）=x²-2bx-

5

4

=（x-b）²-b²-

5

4

∵x∈[1，2]，∴b＞2時，g（x）_min=g（2）=

11

4

-4b；1≤b≤2時，g（x）_min=b²-

5

4

；b＜2時，g（x）_min=g（1）=-

1

4

-2b，
∵對任意x₁∈（0，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴b＞2時，

2

-

3

2

≤

11

4

-4b，不成立；1≤b≤2時，

2

-

3

2

≤b²-

5

4

，∴1≤b≤2；
b＜2時，

2

-

3

2

≤-

1

4

-2b，∴b≤

5

8

-

2

2

．
∴b≤

5

8

-

2

2

或1≤b≤2．

點評：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．