Question

設函數f（x）=lnx-x²+ax（其中無理數e=2.71828…，a∈R）．
（I）若函數f（x）的圖象在x=

1

2

處的切線與直線y=2x平行，求實數a的值，并求此時函數f（x）的值域；
（Ⅱ）證明：?λ∈（0，1），?x₁，x₂∈（0，+∞），f（λx₁+（1-λ）x₂）≥λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）；
（Ⅲ）設g（x）=xe^1-x，若對于任意給定的x₀∈（0，e]，方程 f（x）+1=g（x₀）在（0，e]內有兩個不同的根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（I）利用導數的幾何意義，求出實數a的值，確定函數的單調性，可求函數f（x）的值域；
（Ⅱ）利用分析法進行證明，證明（1）：[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λx₁²+（1-λ）x₂²]=λ（1-λ）（x₁-x₂）²≥0；（2）：ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]=ln

λ( x1 x2 )+(1-λ)

( x1 x2 )λ

≥0即可；
（Ⅲ）求出函數g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]，令F（x）=f（x）+1，F′（x）=0在（0，e）有解，且易知只能有一個解，利用F（x）_max=F（x₀）＞1，分離參數，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx-x²+ax，
∴f′（x）=

1

x

-2x+a，…（1分）
∵函數f（x）的圖象在x=

1

2

處的切線與直線y=2x平行，
∴f′（

1

2

）=2，
解得a=1．　　　　　…（2分）
此時f（x）=lnx-x²+x，f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

，
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數．
由此可知，當x=1時f（x）取得極大值0（同時也是最大值）．
∴函數f（x）的值域為（-∞，0]．…（3分）
（Ⅱ）證明：要證：?λ∈（0，1），?x₁，x₂∈（0，+∞），f（λx₁+（1-λ）x₂）≥λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），
只需要證明ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λx₁+（1-λ）x₂]²+a[λx₁+（1-λ）x₂]≥λ[lnx₁-x12+ax₁]+（1-λ）[lnx₂-x22+ax₂]即可．
也就是要證明ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]-[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λx₁²+（1-λ）x₂²]≥0
∵（1）：[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λx₁²+（1-λ）x₂²]=λ（1-λ）（x₁-x₂）²≥0；                  …（5分）
（2）：ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]=ln

λ( x1 x2 )+(1-λ)

( x1 x2 )λ

下面證明

λ( x1 x2 )+(1-λ)

( x1 x2 )λ

≥1，即要證明λ（

x1

x2

）+（1-λ）≥（

x1

x2

）^λ，
不妨設0＜x₁≤x₂，令t=

x1

x2

，h（t）=λt-t^λ+（1-λ）（0＜t≤1）
∴h′（t）=λ（1-t^λ-1），
∵0＜t≤1，0＜λ＜1，
∴h′（t）≤0，僅當t=1時h′（t）=0，
∴h（t）在（0，1]上是減函數，
∴h（t）≥h（1）=0，即ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]≥0．
結合（1），（2）可知（1）+（2）≥0，因此f（λx₁+（1-λ）x₂）≥λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）；…（8分）
（Ⅲ）解：g′（x）=e^1-x-xe^1-x=（1-x）e^1-x
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；
當x∈（1，e]時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
∵g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e^1-e＞0
∴函數g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]．…（9分）
令F（x）=f（x）+1，F′（x）=-

2x2-ax-1

x

，
若F′（x）=0在（0，e]無解，則F（x）在（0，e]上是單調函數，不合題意；
∴F′（x）=0在（0，e）有解，且易知只能有一個解．　　…（10分）
設其解為x₀，當x∈（0，x₀）時F′（x）＞0，F（x）在（0，x₀）上是增函數；
當x∈（x₀，e）時F′（x）＜0，F（x）在（x₀，e）上是減函數．
∵?x₀∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x₀）在（0，e]內有兩個不同的根，
∴F（x）_max=F（x₀）＞1，且F（e）≤0．
由F（e）≤0，即lne-e²+ae+1≤0，解得a≤e-

2

e

．　   …（11分）
由F（x）_max=F（x₀）＞1，即lnx0-

x

2 0

+ax0＞0．
∵2x02-ax0-1=0，∴a=2x₀-

1

x0

，
代入lnx0-

x

2 0

+ax0＞0，得lnx₀+x₀²-1＞0．
設m（x）=lnx+x²-1，m′(x)=

1

x

+2x＞0，∴m（x）在（0，e）上是增函數，
而m（1）=0，由lnx₀+x₀²-1＞0可得m（x₀）＞m（1），
得1＜x₀＜e． …（12分）
由a=2x₀-

1

x0

是增函數，得1＜a＜2e-

1

e

．       …（13分）
綜上所述1＜a≤e-

2

e

．…（14分）

點評：本題主要考查了學生會利用導函數的正負確定函數的單調性，會根據函數的增減性求出閉區(qū)間上函數的最值，能夠判斷不等式恒成立時所滿足的條件．難度大