Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m +

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①y=f（x）的定義域是R，值域是(-

1

2

，

1

2

]；
②點(diǎn)（k，0）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心，其中k∈Z；
③函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在(-

1

2

，

3

2

]上是增函數(shù)．
則上述命題中真命題的序號(hào)是

①③

．

Answer 1

分析：依據(jù)函數(shù)定義，得到f（x）=x-{x}∈(-

1

2

，

1

2

]，再對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)驗(yàn)證后，即可得到正確結(jié)論．

解答：解：由題意知，{x}-

1

2

＜x≤{x}+

1

2

，則得到f（x）=x-{x}∈(-

1

2

，

1

2

]，則命題①為真命題；
由于k∈Z時(shí)，f（k）=k-{k}=k-k=0，但由于f（x）∈(-

1

2

，

1

2

]，故函數(shù)不是中心對(duì)稱圖形，故命題②為假命題；
由題意知，函數(shù)f（x）=x-{x}∈(-

1

2

，

1

2

]的最小正周期為1，則命題③為真命題；
由于，{x}-

1

2

＜x≤{x}+

1

2

，則得到f（x）=x-{x}為分段函數(shù)，且在(-

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2

，

1

2

]，(

1

2

，

3

2

]為增函數(shù)，
但在區(qū)間(-

1

2

，

3

2

]上不是增函數(shù)，故命題④為假命題．
正確的命題為①③
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，我們可以根據(jù)給定函數(shù)的定義對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題．