(2010•唐山三模)如圖,在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是邊長為2
3
的菱形,∠BAD=60°,側(cè)面VAD⊥底面ABCD,VA=VD,E為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面VBE⊥平面VBC;
(Ⅱ)當(dāng)直線VB與平面ABCD所成的角為30°時,求面VBE與面VCD所成銳二面角的大。
分析:(Ⅰ)連接BD.證明AD⊥VE,AD⊥BE,通過VE∩BE=E,推出AD⊥平面VBE.利用BC∥AD,BC⊥平面VBE,然后證明平面VBE⊥平面VBC;
(Ⅱ)分別以EB、ED、EV為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出C,D,V的坐標(biāo),利用
m
DV
=
m
DC
=0
,推出平面VCD的法向量
m
=(x,y,z)
,求出平面VBE的法向量
n
=(0,1,0),利用cos
m
,
n
=
m
n
|
m
|| 
n
|
,求面VBE與面VCD所成銳二面角的大。
解答:解:(Ⅰ)證明:連接BD.
由已知,側(cè)面VAD和△ABD,VA=VD,是以AD為公共底邊的等腰三角形,
E為AD的中點(diǎn),∴AD⊥VE,AD⊥BE,
又VE∩BE=E,∴AD⊥平面VBE.
∵BC∥AD,∴BC⊥平面VBE,
又BC?平面VBC,
∴平面VBE⊥平面VBC.
(Ⅱ)∵側(cè)面VAD⊥底面ABCD,∴VE⊥底面ABCD,
當(dāng)直線VB與平面ABCD所成的角為30°,即∠VBE=30°,
由已知,BE=3,BC=2
3
,DE=
3
,VE=BEtan30°=
3

分別以EB、ED、EV為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(3,2
3
,0),D(0,
3
,0),V(0,0,
3
).
設(shè)
m
=(x,y,z)
為平面VCD的法向量,則
m
DC
=
m
DV
=0,
DC
=(3,
3
,0)
DV
=(0,-
3
,
3
 )
,
3x+
3
y=0
-
3
y+
3
z=0
,取
m
=(-1,
3
,
3
)
,
n
=(0,1,0)為平面VBE的法向量,
cos
m
n
=
m
n
|
m
|| 
n
|
=
3
(-1)2+(
3
)
2
+(
3
)
2
• 1
=
3
7
=
21
7

所以面VBE與面VCD所成銳二面角的大小為arccos
21
7
點(diǎn)評:本題是中檔題,考查平面與平面垂直的證明方法,平面與所成二面角的大小的向量求法,考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想,常考題型.
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