已知曲線C上任意一點M到點F(0,1)的距離比它到直線l:y=-2的距離小1.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點P(2,2)的直線m與曲線C交于A,B兩點,設(shè)
①當(dāng)λ=1時,求直線m的方程;
②當(dāng)△AOB的面積為時(O為坐標(biāo)原點),求λ的值.
【答案】分析:(1)設(shè)出M的坐標(biāo),根據(jù)題意可知|MF|=|y+2|-1利用兩點間的距離公式建立等式整理求得x和y的關(guān)系式,即M的軌跡方程.
(2)當(dāng)直線m的斜率不存在時,它與曲線C只有一個交點,不合題意,進而設(shè)直線m的方程,代入拋物線的方程,整理后利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2,①利用λ=1判斷出P是AB的中點,進而求得k,則直線的方程可得.
②分別利用兩點間的距離公式和點到直線的距離公式表示出|AB|和0到直線m的距離,表示出三角形的面積,根據(jù)面積為求得k,進而利用k求得x1x2,進而利用λ的表達式求得λ.
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),則由題設(shè)得|MF|=|y+2|-1,
=|y+2|-1
當(dāng)y≥-2時,,化簡得x2=4y;
當(dāng)y<-2時,=-y-3,
化簡得x2=8y+8與y<-3不合
故點M的軌跡C的方程是x2=4y
(2)當(dāng)直線m的斜率不存在時,它與曲線C只有一個交點,不合題意,
設(shè)直線m的方程為y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k),
代入x2=4y得x2-4kx+8(k-1)=0(☆)
△=16(k2-2k+2)>0對k∈R恒成立,所以,直線m與曲線C恒有兩個不同的交點
設(shè)交點A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=4k,x1x2=8(k-1)
①由,且λ=1得點P是弦AB的中點,
∴x1+x2=4,則4k=4,得k=1
∴直線m的方程是x-y=0
②∵|AB|=
點O到直線m的距離d=,
∴S△ABO=
∵S△ABO=4,∴,
∴(k-1)4+(k-1)2-2=0,(k-1)2=1或(k-1)2=-2(舍去)
∴k=0或k=2
當(dāng)k=0時,方程(☆)的解為±2
若x1=2,則
若x1=-2,則
當(dāng)k=2時,方程(☆)的解為4±2
若x1=4+2,則
若x1=4-2,則
所以,λ=3+2
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.涉及了圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和平面幾何的知識,注重了基礎(chǔ)和能力的考查.
練習(xí)冊系列答案
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已知曲線C上任意一點M到點F(1,0)的距離比它到直線l:x=-2的距離小1.
(1)求曲線C的方程;
(2)斜率為1的直線l過點F,且與曲線C交與A、B兩點,求線段AB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C上任意一點M到點F(0,1)的距離比它到直線l:y=-2的距離小1.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點P(2,2)的直線與曲線C交于A、B兩點,設(shè)
AP
PB
.當(dāng)△AOB的面積為4
2
時(O為坐標(biāo)原點),求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C上任意一點到點M(0,
1
2
)的距離與到直線y=-
1
2
的距離相等.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A1(x1,0),A2(x2,0)是x軸上的兩點(x1+x2≠0,x1x2≠0),過點A1,A2分別作x軸的垂線,與曲線C分別交于點A1′,A2′,直線A1′A2′與x軸交于點A3(x3,0),這樣就稱x1,x2確定了x3.同樣,可由x2,x3確定了x4.現(xiàn)已知x1=6,x2=2,求x4的值.

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(2012•松江區(qū)三模)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點.已知曲線C上任意一點P(x,y)(其中x≥0)到定點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,直線l與曲線C相交于不同的A,B兩點.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)若直線l經(jīng)過點F(1,0),求
OA
OB
的值;
(3)若
OA
OB
=-4
,證明直線l必過一定點,并求出該定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點.已知曲線C上任意一點P(x,y)(其中x≥0)到定點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)若過點F(1,0)的直線l與曲線C相交于不同的A,B兩點,求
OA
OB
的值;
(3)若曲線C上不同的兩點M、N滿足
OM
MN
=0
,求|
ON
|
的取值范圍.

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