Question

（2012•淄博二模）設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1，則方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數(shù)根的個數(shù)為

4

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Answer 1

分析：由題意可得出函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)且x∈[-2，2]時，f（x）=2^|x|-1，由此可作出f（x）在實數(shù)集上的圖象，又方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數(shù)根的個數(shù)即兩函數(shù)y=f（x）與y=log₂（x+2）的圖象的交點個數(shù)，由此將方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題，作圖即可得出答案

解答：解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1
∴x∈[-2，2]時，f（x）=2^|x|-1
又對任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），故周期是4
方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數(shù)根的個數(shù)即兩函數(shù)y=f（x）與y=log₂（x+2）的圖象的交點個數(shù)
如圖，由圖知，兩函數(shù)有四個交點
即方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數(shù)根的個數(shù)為4
故答案為4

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的周期性與偶函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是把問題轉(zhuǎn)化為圖象問題解決，以形助數(shù)是函數(shù)類問題的常用方法，學習時要體會總結經(jīng)驗與規(guī)律