Question

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．

（1）求證：平行平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）只需證∥；（2）；（3）點為線段中點時，與成角.

試題分析：（Ⅰ）證明：連結，交于點，連結.
由 是直三棱柱，
得 四邊形為矩形，為的中點.
又為中點，所以為中位線，
所以 ∥，        
因為 平面，平面，
所以 ∥平面.  
（Ⅱ）由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標系.設，

則.
所以 ， 
設平面的法向量為，則有
所以  取，得.
易知平面的法向量為.
由二面角是銳角，得 .
所以二面角的余弦值為.
（Ⅲ）假設存在滿足條件的點.
因為在線段上，，，故可設，其中.
所以 ，.
因為與成角，所以.
即，解得，舍去.        
所以當點為線段中點時，與成角.
點評：二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角，但結果往往求不對，出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。