Question

如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關(guān)于點對稱．

（Ⅰ）若點的坐標(biāo)為，求的值；

（Ⅱ）若橢圓上存在點，使得，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

；

【解析】

試題分析：（I）利用中點坐標(biāo)公式，求M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可；（II）設(shè)，表示出P坐標(biāo)，再利用垂直條件寫關(guān)系式，求的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）解：依題意，是線段的中點，

因為，，

所以 點的坐標(biāo)為．      2分

由點在橢圓上，   

所以 ，                                                   4分

解得 ．                                                          5分

（Ⅱ）解：設(shè)，則 ，且．                   ①              6分

因為 是線段的中點，

所以 ．                                                  7分

因為 ，

所以 ．             ②                                  8分

由 ①，② 消去，整理得 ．                              10分

所以 ，                           12分

當(dāng)且僅當(dāng) 時，上式等號成立．                        

所以 的取值范圍是．                                      14分

考點：１．中點坐標(biāo)公式；２．基本不等式，分離常數(shù)；３．轉(zhuǎn)化思想.