Question

已知集合A＝(a₁，a₂，…a_n)中的元素都是正整數(shù)，且a₁＜a₂＜…＜a_n，對任意的x，y∈A，且x≠y，有．

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求證：n≤9；

(Ⅲ)對于n＝9，試給出一個滿足條件的集合A．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：依題意有，又，

　　因此．

　　可得．

　　所以．

　　即　　4分

　　(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得．

　　又，可得，因此．

　　同理，可知．

　　又，可得，

　　所以均成立．

　　當(dāng)時，取，則，

　　可知．

　　又當(dāng)時，．

　　所以　　8分

　　(Ⅲ)解：對于任意，，

　　由可知，

　　，即．

　　因此，只需對，成立即可．

　　因為；；；，

　　因此可設(shè)；；；；．

　　由，可得，取．

　　由，可得，取．

　　由，可得，取．

　　由，可得，取．

　　所以滿足條件的一個集合　　12分

　　其它解法，請酌情給分．