Question

已知數(shù)列{x_n}，{y_n}滿足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且（λ為非零參數(shù)，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比數(shù)列，求參數(shù)λ的值；
（2）當(dāng)λ＞0時(shí)，證明；當(dāng)λ＞1時(shí)，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)把x1=x2=1代入求得x3，同理可求得x₄=λ³，x₅=λ⁶，進(jìn)而根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得λ．
（2）根據(jù)根據(jù)不等式性質(zhì)可知有_≥…≥=λ^n-1；_=…=λ^n-1
進(jìn)而可得出，再看當(dāng)λ＞1時(shí)得出_≥，即_{≥，代入，原式得證}．
解答：（1）解：由已知x₁=x₂=1，且
∴x₃=λ，同理可知x₄=λ³，x₅=λ⁶，若x₁、x₃、x₅成等比數(shù)列，則x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）證明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0，y_n＞0．由不等式的性質(zhì)，有_≥…≥
=λ^n-1；
另一方面，_=…=λ^n-1．
因此，₌（n∈N^*）．故（n∈N^*）．
（Ⅱ）當(dāng)λ＞1時(shí)，由（Ⅰ）可知，y_n＞x_n≥1（n∈N^*）．
又由（Ⅰ）（n∈N^*），則_≥，
從而_≥（n∈N^*）．
_∴
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，結(jié)合等比數(shù)列的等比中項(xiàng)及前n項(xiàng)和的公式，運(yùn)用不等式的性質(zhì)及證明等基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算和推理論證．