Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=2a_n-1，則a_n=2^n-1．

Answer 1

分析 根據(jù)已知等式確定出S_n-1=2a_n-1-1（n＞1），已知等式與所得等式相減，利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)確定出通項(xiàng)公式即可．

解答 解：∵S_n=2a_n-1①，
∴S_n-1=2a_n-1-1②（n＞1），
①-②得：S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∵S₁=a₁=2a₁-1，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列，
則a_n=2^n-1．
故答案為：2^n-1

點(diǎn)評 此題考查了數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式．