Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求證：BB₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅲ）求三棱錐B₁-A₁DC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BB₁⊥平面ABC，必須證明BB₁⊥平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，AB、CD即可．
（Ⅱ）要證BC₁∥平面CA₁D，必須證明BC₁∥平面CA₁D內(nèi)的一條直線，因而連接AC₁與A₁C的交點(diǎn)E與D，證明即可．
（Ⅲ）求三棱錐B₁-A₁DC的體積，就是求C-A₁B₁D的體積，求出底面面積和高即可．

解答：解：（1）∵AC=BC，D為AB的中點(diǎn)．∴CD⊥AB
又∵CD⊥DA₁，∴CD⊥平面ABB₁A₁∴CD⊥BB₁
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D
∴BB₁⊥面ABC．

（2）連接BC₁，連接AC₁交A₁C于E，連接DE，E是AC₁中點(diǎn)，
D是AB中點(diǎn)，則DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D₁BC₁∉面CA₁D₁
∴BC₁∥面CA₁D

（3）由（1）知CD⊥平面AA₁B₁B
故CD是三棱錐C-A₁B₁D的高
在Rt△ACB中，AC=BC=2，∴AB=2

2

，CD=

2

又BB₁=2
∴V_B1-A1DC=V_C-A1B1D=

1

3

S_△A1B1DCD=

1

6

A₁B₁×B₁B×CD
=

1

6

×2

2

× 2×

2

=

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查體積計算，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想是中檔題．