Question

8．如圖，高為3的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是直角三角形，AC=2，D為A₁C₁的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段AA₁上，$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{D{B}_{1}}$=0，且A₁F=1．
（1）求證：CF⊥平面B₁DF；
（2）求平面B₁FC與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理先證明CF⊥B₁F即即可證明CF⊥平面B₁DF；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求平面B₁FC與平面AFC所成的銳二面角的余弦值．

解答 （1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是直角三角形，D為A₁C₁的中點(diǎn)，
∴DB₁⊥AA₁，
∵CF⊥DB₁，CF∩⊥AA₁=F．
∴DB₁⊥平面AA₁CC₁．
∴DB₁⊥A₁B₁，
則△A₁B₁C₁為等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中高為3，AC=2，A₁F=1
∴AB=BC=$\sqrt{2}$，AF=2，F(xiàn)B₁=$\sqrt{3}$，B₁C=$\sqrt{11}$，CF=2$\sqrt{2}$，
滿足B₁F²+CF²=B₁C²，
即CF⊥B₁F，
∵CF⊥DB₁，DB₁∩B₁F=B₁，
∴CF⊥平面B₁DF；
（2）建立以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
A（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），B₁（0，0，3），A₁（$\sqrt{2}$，0，3），C₁（0，$\sqrt{2}$，3），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0，2），
則平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
即平面B₁FC與平面AFC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
設(shè)平面B₁FC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}F}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2z=0}\\{\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，令x=1．則為$\overrightarrow{m}$=（1，3，$\sqrt{2}$），
則|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{2}}{1×\sqrt{1+9+2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面垂直的判斷以及二面角的求解，利用線面垂直的判定定理以及二面角的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．