Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）求證{

1

an

+（-1）ⁿ}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，數(shù)列{c_n}的前n項和為{T_n}．求證：對任意的n∈N*，Tn＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）利用遞推式和已知即可得出；
（2）對a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

兩邊取倒數(shù)，再變形和利用等比數(shù)列的定義和通項公式即可得出；
（3）由sin

(2n-1)π

2

=（-1）^n-1，可得cn=(-1)n-1•

(-1)n-1

3•2n-1+1

=

1

3•2n-1+1

＜

1

3×2n-1

（n≥3）．利用放縮法和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N^*），
∴a2=

a1

1×a1-2

=

1 4

1 4 -2

=-

1

7

；
a3=

a2

-a2-2

=

1

13

；
a4=

a3

a3-2

=-

1

25

．
（2）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
∵

1

a1

+(-1)=3，
∴{

1

an

+（-1）ⁿ}是首項為3，公比為-2的等比數(shù)列，
∴

1

an

+(-1)n=3×(-2)n-1，解得an=

(-1)n-1

3×2n-1+1

．
（3）∵sin

(2n-1)π

2

=（-1）^n-1，
∴cn=(-1)n-1•

(-1)n-1

3•2n-1+1

=

1

3•2n-1+1

．
當n≥3Tn=

1

3+1

+

1

3×2+1

+

1

3×22+1

+…+

1

3×2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

時，
又

1

4

＞T₁＞T₂＞T₃．
∴對任意的n∈N^*，Tn＜

4

7

．

點評：熟練掌握遞推式的意義、取倒數(shù)法、再變形和利用等比數(shù)列的定義和通項公式、放縮法和等比數(shù)列的前n項和公式是解題的關(guān)鍵．