Question

13．已知函數(shù)f（x）=|ax²+x-4a|，其中x∈[-2，2]，a∈[-1，1]．
（I）當(dāng)α=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）記f（x）的最大值為M（a），求M（a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出當(dāng)α=1時(shí)，f（x）=|x²+x-4|，x∈[-2，2]，解方程可得兩根，再由f（x）的單調(diào)性，可得值域；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=0的兩根為x₁，x₂，（x₁＜x₂），對(duì)a討論，當(dāng)-1≤a≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，當(dāng)-$\frac{1}{4}$＜a≤0時(shí)，當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a≤1時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性可得最大值，再由基本不等式和單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（I）當(dāng)α=1時(shí)，f（x）=|x²+x-4|，x∈[-2，2]，
由x²+x-4=0，解得x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$，
由f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$]遞增，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）遞減，
在（$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$，2]遞增，可得
f（x）的最小值為0，由f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{4}$，f（2）=4，
最大值為$\frac{17}{4}$．
則f（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{17}{4}$]；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=0的兩根為x₁，x₂，（x₁＜x₂），
當(dāng)-1≤a≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在（-2，x₁）遞減，（x₁，-$\frac{1}{2a}$）遞增，（-$\frac{1}{2a}$，2）遞減，
可得f（x）在x=-$\frac{1}{2a}$處取得最大值，且為-$\frac{16{a}^{2}+1}{4a}$；
當(dāng)-$\frac{1}{4}$＜a≤0時(shí)，f（x）在（-2，x₁）遞減，（x₁，2）遞增，
可得f（x）在x=±2處取得最大值2；
當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在（-2，x₂）遞減，（x₂，2）遞增，可得f（x）在x=±2處取得最大值2；
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a≤1時(shí)，f（x）在（-2，-$\frac{1}{2a}$）遞增，（-$\frac{1}{2a}$，x₂）遞減，（x₂，2）遞增，
可得f（x）在x=-$\frac{1}{2a}$處取得最大值，且為$\frac{16{a}^{2}+1}{4a}$．
即有M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+16{a}^{2}}{4a}，-1≤a≤-\frac{1}{4}}\\{2，-\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{4}}\\{\frac{16{a}^{2}+1}{4a}，\frac{1}{4}＜a≤1}\end{array}\right.$，
當(dāng)-1≤a≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，M（a）=（-4a）+$\frac{1}{-4a}$在[-1，-$\frac{1}{4}$]遞減，可得M（a）∈[2，$\frac{17}{4}$]；
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a≤1時(shí)，M（a）=4a+$\frac{1}{4a}$遞增，可得M（a）∈[2，$\frac{17}{4}$]．
綜上可得，M（a）的取值范圍是[2，$\frac{17}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的值域的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，以及函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于難題．