Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，PD⊥平面ABCD，AB=2CD，PD=AD=CD=1．
（1）求AD與PB所成角的大��；
（2）求AB與面PBD所成角的大小；
（3）求面PAD與面PBC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以D為原點，以DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AD與PB所成角．
（2）求出平面PBD的法向量，由此能求出AB與面PBD所成角的大小．
（3）求出面PAD的法向量和面PBC的法向量，利用向量法能求出面PAD與面PBC所成銳二面角的正切值．

解答： 解：（1）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，
PD⊥平面ABCD，AB=2CD，PD=AD=CD=1，
∴DA、DB、DP兩兩垂直，
以D為原點，以DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標系，
A（1，0，0），D（0，0，0），P（0，0，1），
B（0，

3

，0），C（-

1

2

，

3

2

，0）

DA

=(1，0，0)，

PB

=(0，

3

，-1)，
設(shè)AD與PB所成角為θ，
cosθ=|＜

DA

，

PB

＞|=|

0

2

|=0，
∴AD與PB所成角為90°．
（2）∵平面PBD的法向量

n

=（1，0，0），

BA

=(1，-

3

，0)，
設(shè)AB與面PBD所成角為α，
則sinα=|cos＜

BA

，

n

＞|=|

1

2

|=

1

2

，
∴α=30°，
∴AB與面PBD所成角為30°．
（3）面PAD的法向量

m

=(0，1，0)，

PC

=(-

1

2

，

3

2

，-1)，

PB

=(0，

3

，-1)，
設(shè)面PBC的法向量

p

=(x，y，z)，
則

p • PB = 3 y-z=0 p • PC =- 1 2 x+ 3 2 y-z=0

，
取y=

3

，得

p

=(-3，

3

，3)，
設(shè)面PAD與面PBC所成銳二面角的平面角為β，
cosβ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

3

21

|=

7

7

．
sinβ=

1- 1 7

=

42

7

，
∴tanβ=

6

．
∴面PAD與面PBC所成銳二面角的正切值是

6

．

點評：本題考查異面直線所成角的求法，考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的正切值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．