Question

【題目】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望；
（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設顧客所獲取的獎勵額為X，

①依題意，得P（X=60）= ，

即顧客所獲得獎勵額為60元的概率為 ，

②依題意得X得所有可能取值為20，60，

P（X=60）= ，P（X=20）= ，

即X的分布列為

X	60	20
P

所以這位顧客所獲的獎勵額的數學期望為E（X）=20× +60× =40

（2）解：根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案．

對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以數學期望不可能為60元，

如果選擇（50，50，50，10）的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以數學期望也不可能為60元，

因此可能的方案是（10，10，50，50）記為方案1，

對于面值由20元和40元的組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2，

以下是對這兩個方案的分析：

對于方案1，即方案（10，10，50，50）設顧客所獲取的獎勵額為X1，則X1的分布列為

X1	60	20	100
P

X1 的數學期望為E（X1）= ．

X1 的方差D（X1）= = ，

對于方案2，即方案（20，20，40，40）設顧客所獲取的獎勵額為X2，則X2的分布列為

X2	40	60	80
P

X2 的數學期望為E（X2）= =60，

X2 的方差D（X2）=差D（X1） = ．

由于兩種方案的獎勵額的數學期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1小，所以應該選擇方案2．

【解析】（1）根據古典概型的概率計算公式計算顧客所獲的獎勵額為60元的概率，依題意得X得所有可能取值為20，60，分別求出P（X=60），P（X=20），畫出顧客所獲的獎勵額的分布列求出數學期望；（2）先討論，尋找期望為60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）兩種方案，分別求出數學期望和方差，然后做比較，問題得以解決．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．