Question

a

=（

x2

3

，x），

b

=（x，x-3），x≥-4，若

a

•

b

取最小值時(shí)，＜

a

，

b

＞的值是（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  π

  6

• C、

  3π

  4

• D、

  5π

  6

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和最小值，再由向量的夾角公式和夾角的范圍，計(jì)算即可得到．

解答： 解：由

a

=（

x2

3

，x），

b

=（x，x-3），x≥-4，
則

a

•

b

=

x3

3

+x²-3x，
可令y=

x3

3

+x²-3x，y′=x²+2x-3，
當(dāng)-4≤x＜-3和x＞1時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減．
由f（-4）=-

64

3

+16+12＞0，f（1）=

1

3

+1-3＜0，
則x=1時(shí)，

a

•

b

取最小值．
即有

a

=（

1

3

，1），

b

=（1，-2），
cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1 3 -2

10 3 × 5

=-

2

2

，
由0≤＜

a

，

b

＞≤π，
則＜

a

，

b

＞=

3π

4

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和夾角公式，主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值、最值，屬于中檔題．