Question

有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為v立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都為r立方米．現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合．用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數(shù)，我們稱其為在時刻t時的湖水污染質量分數(shù)．已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數(shù)滿足關系式g(t)＝＋[g(0)－](p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始質量分數(shù)．

(1)當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質量分數(shù)；

(2)求證：當g(0)＜時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；

(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，問經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　設0≤t1＜t2，∵g(t)為常數(shù)，∴g(t1)＝g(t2)， 　　即[g(0)－]·[－]＝0， 　　∵－≠0 　　∴g(0)＝． 　　(2)設0＜t1＜t2，則g(t1)－g(t2)＝[g(0)－]·[－]＝[g(0)－]·． 　　∵g(0)－＜0，t1＜t2，∴g(t1)＜g(t2)． 　　故湖泊污染質量分數(shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴重． 　　(3)污染源停止，即p＝0，此時g(t)＝g(0)·． 　　設要經(jīng)過t天能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5％，即g(t)＝5％·g(0)， 　　則有5％·g(0)＝g(0)·． 　　由實際意義知g(0)≠0，∴＝． 　　∴t＝ln20(天)，即需要ln20天時間．