某公司今年年初支出100萬元購買一種新的設(shè)備,而且公司每年需要支出設(shè)備的維修費(fèi)和工人工資等各種費(fèi)用,第一年4萬元,第二年6萬元,以后每年均比上一年增加2萬元.除去各種費(fèi)用后,預(yù)計(jì)公司每年純收益為28萬元.問:
(1)引進(jìn)這種設(shè)備后,從第幾年起該公司開始獲利?(即:總收益大于各種支出)
(2)這種設(shè)備使用多少年,該公司的年平均收益最大?

解:(1)由題意知,每年的費(fèi)用是以4為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
設(shè)純收益與使用年數(shù)n的關(guān)系為f(n),
則f(n)=28n-[4n+]-100
=25n-n2-100.…(4分)
由f(n)>0,得n2-25n+100<0,
解得:5<n<20,
又∵n∈N,所以6,7,8,…,19.
且當(dāng)n=5時(shí),f(n)=0,
即第5年末的收益與支出恰好相等,故從第6年起該公司開始獲利.…(6分)
(2)年平均收益為:

≤25-2=5.…(10分)
當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=10時(shí),取得最大值.
即這種設(shè)備使用10年,該公司的年平均收益最大.…(12分)
分析:(1)由題意知,每年的費(fèi)用是以4為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,設(shè)純收益與使用年數(shù)n的關(guān)系為f(n),f(n)=28n-[4n+]-100,由此能夠求出引進(jìn)這種設(shè)備后,第5年末的收益與支出恰好相等,故從第6年起該公司開始獲利.
(2)年平均收益為≤25-2×10=5.由此能夠求出這種設(shè)備使用10年,該公司的年平均收益最大.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意均值定理的靈活運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某公司今年年初支出100萬元購買一種新的設(shè)備,而且公司每年需要支出設(shè)備的維修費(fèi)和工人工資等各種費(fèi)用,第一年4萬元,第二年6萬元,以后每年均比上一年增加2萬元.除去各種費(fèi)用后,預(yù)計(jì)公司每年純收益為28萬元.問:
(1)引進(jìn)這種設(shè)備后,從第幾年起該公司開始獲利?(即:總收益大于各種支出)
(2)這種設(shè)備使用多少年,該公司的年平均收益最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江西省宜春市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某公司今年年初支出100萬元購買一種新的設(shè)備,而且公司每年需要支出設(shè)備的維修費(fèi)和工人工資等各種費(fèi)用,第一年4萬元,第二年6萬元,以后每年均比上一年增加2萬元.除去各種費(fèi)用后,預(yù)計(jì)公司每年純收益為28萬元.問:
(1)引進(jìn)這種設(shè)備后,從第幾年起該公司開始獲利?(即:總收益大于各種支出)
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