Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)是奇函數(shù)，由f（0）=0，即可求a值；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點的定義，求b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為R且為奇函數(shù)，
∴f（0）=

a-1

2

=0，解得a=1，經(jīng)檢驗符合．
（Ⅱ）∵f(x)=

-2x+1

2x+1

=-1+

2

2x+1

，f（x）在R上位減函數(shù)
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=-1+

2

2x1+1

-(-1+

2

2x2+1

)=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，（∵2x2＞2x1）
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
（Ⅲ）由F（x）=0，
得f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（4^x-b）=f（2^x+1）
即4^x-b=2^x+1有解，
∴b=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x≥-1，
∴實數(shù)b的取值范圍是b≥-1

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．