Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的距離為3．  
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M、N，直線l的斜率為k（k≠0），當(dāng)|BM|=|BN|時(shí)，求直線l縱截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-1），知b=1，由焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的距離為3，解得c=．由此能求出橢圓方程．  
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由，得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．利用根的判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)能求出m的取值范圍．
解答：解：（1）∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-1），
∴b=1，
∵焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），c＞0
∵右焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的距離為3，
∴3=，解得c=．
∴a²=b²+c²=1+2=3，
∴橢圓方程為．
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，
由得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
由△＞0，得m²＜3k²+1  ①，
∴x_P=，
從而y_P=kx_p+m=．
∴k_BP=．
由MN⊥BP，得=-，
即2m=3k²+1②．
將②代入①，得2m＞m²，
解得0＜m＜2．由②得k²=＞0．
解得m＞．故所求m的取值范圍為（，2）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的截距的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．