Question

【題目】如圖，在四棱錐中，⊥底面，，，，，點為棱的中點．

(1)（理科生做）證明：；

（文科生做）證明：；

(2)（理科生做）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．

（文科生做）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）理，文

【解析】

(1理)可通過以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，然后確定四點的坐標(biāo)，最后通過求得出；

(1文)首先可證明四邊形是平行四邊形，再通過證明平面；

(2理)先求出向量，然后求出平面和平面的法向量，最后求出二面角的余弦值；

(2文)可通過等面積法求出點到平面的距離。

(1理)依題意，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

可得，

，

由為棱的中點，

得，

向量，，故，

所以.

(1文)取中點，聯(lián)接

因為是中點，所以且

所以且，四邊形是平行四邊形

平面，平面，

所以平面；

(2理)向量，，，．

由點在棱上，設(shè)，

故

由，得，因此，解得，

即，設(shè)為平面的法向量，

則，即，

不妨令，可得平面的一個法向量．

取平面的法向量，則

，

易知，二面角是銳角，所以其余弦值為

(2文)設(shè)到平面距離為，

在中， 因為，

所以平面，

所以,在中，

將數(shù)據(jù)代入得。