Question

定義在R上的函數(shù)f（x）＞0，對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x） f（y）成立，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若f（k•3^x）f（3^x-9^x-2）＜1對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）解：令x=0，y=1，則f（0+1）=f（0）f（1），
∵當x＞0時，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）=1；
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0
∵當x＞0時，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）解：∵f（x）在R上是增函數(shù)，f（k•3^x） f（3^x-9^x-2）=f（k 3^x+3^x-9^x-2）＜f（0），
∴3^2x-（1+k）•3^x+2＞0對任意x∈R成立．
∴1+k＜3^x+
∵3^x＞0，∴3^x+≥
∴k＜．
分析：（1）利用賦值法，令x=0，y=1，結(jié)合當x＞0時，f（x）＞1，可求f（0）的值；
（2）在R上設(shè)出兩個變量，利用當x＞0時，f（x）＞1，確定函數(shù)值的大小關(guān)系，即可證得結(jié)論；
（3）利用單調(diào)性，結(jié)合f（x+y）=f（x）f（y），f（0）=1，轉(zhuǎn)化為具體不等式，再分離參數(shù)，利用基本不等式，即可求得實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查抽象函數(shù)，考查賦值法的運用，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)、基本不等式的運用，正確分離參數(shù)，求出最值是關(guān)鍵．