Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+2），x≥1}\\{{e}^{x}-1，x＜1}\end{array}\right.$，若m＞0，n＞0，且m+n=f[f（ln2）]，則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用分段函數(shù)求得m+n=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+2），x≥1}\\{{e}^{x}-1，x＜1}\end{array}\right.$，
m+n=f[f（ln2）]=f（e^ln2-1）=f（2-1）=log₃3=1，
則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\sqrt{2}$m時(shí)，取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意運(yùn)用乘1法，考查分段函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題．