Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形， 平面， 為的中點.

（1）證明： 平面

（2）已知， ， 求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，可得：直線的方向向量為： ，平面的一個法向量為，

結合可得： 平面.

(2)結合(1)的結論結合題意可得平面的一個法向量為.平面的一個法向量為： ，據此計算可得二面角的余弦值為.

試題解析：

(1)以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

由幾何關系有： ，

則直線的方向向量為： ， ，

設平面的法向量，則： ，

據此可得：平面的一個法向量為，

結合可知： ，據此可得： 平面.

(2)結合(1)的結論可知： ，

則平面的一個法向量為.

由平面可知平面的一個法向量為： ，

據此可得： ，

則，

觀察可知二面角的平面角為銳角，

故二面角的余弦值為.