Question

6．對于函數(shù)y=f（x），若在其定義域內(nèi)存在x₀，使得x₀•f（x₀）=1成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的“反比點”．下列函數(shù)中具有“反比點”的是①②④．
①f（x）=-2x+2$\sqrt{2}$；  ②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；
③f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞）；④f（x）=e^x；  ⑤f（x）=-2lnx．

Answer 1

分析 根據(jù)“反比點”的定義，直接解方程，進行判斷即可．

解答 解：①由x$（-2x+2\sqrt{2}）$=1得：$2{x^2}-2\sqrt{2}x+1=0⇒x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
則①具有“反比點”．
②設h（x）=xsinx-1，∵h（0）=-1＜0，$h（{\frac{π}{2}}）=\frac{π-2}{2}＞0$，
∴h（x）=xsinx-1=0⇒xsinx=1在$（{0，\frac{π}{2}}）$上有解，所以②具有“反比點”．
③由$x（{x+\frac{1}{x}}）=1⇒{x^2}=0⇒x=0$∉（0，+∞），所以③不具有“反比點”；
④若xe^x=1令g（x）=xe^x-1，g（0）=-1＜0，g（1）=e-1＞0④具有“反比點”
⑤若$-2xlnx=1⇒xlnx=\frac{1}{-2}$在（0，+∞）上 有解，
令h（x）=xlnx⇒h'（x）=lnx+1=0⇒x=e^-1，
可得h（x）在x=e^-1有最小值-e^-1，而$-{e^{-1}}＞\frac{1}{-2}$，所以⑤不具有“反比點”，
故答案為：①②④

點評 本題主要考查與函數(shù)有關的命題的真假判斷，利用“反比點”的定義進行判斷是解決本題的關鍵．