Question

已知f（x）=sinx+2x，x，且f（1+a）+f（2a）＜0，則a的取值范圍是________．

Answer 1

[-，-）
分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，證出f（x）在其定義域上是奇函數(shù)，從而將不等式f（1+a）+f（2a）＜0化成f（1+a）＞f（-2a）．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，由此建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：∵f（-x）=-sinx-2x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在其定義域上是奇函數(shù)
因此，不等式f（1+a）+f（2a）＜0可化成f（1+a）＜-f（2a）
即f（1+a）＞f（-2a），
∵函數(shù)f（x）=sinx+2x，求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=cosx+2＞0
∴函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)
由此可得原不等式等價(jià)于，解之得-≤a＜-
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-，-）
故答案為：[-，-）
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有正弦與一次式的基本初等函數(shù)，在已知單調(diào)性和奇偶性的前提下求解關(guān)于a的不等式，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)和不等式的解法等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．