Question

1．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)，f″（x）是f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任何一個三次函數(shù)都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對稱中心．
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中的函數(shù)f（x），計算f（-98）+f（-97）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（99）+f（100）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x），依次計算f′（x）與f″（x），再令f″（x）=0，解可得x=1，將x=1代入f（x）中，可得f（1）的值，即可得函數(shù)f（x）的對稱中心；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，分析可得f（1-x）+f（1+x）=2，進行可得f（-98）+f（100）=f（1-99）+f（1+99）=2，f（-97）+f（99）=f（1-98）+f（1+98）=2，
…f（0）+f（2）=f（1-0）+f（1+1）=2，由此計算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x，其導數(shù)f′（x）=3x²-6x+3，
f″（x）=6x-6，
若f″（x）=0，即6x-6=0，解可得x=1，
f（1）=1-3+3=1，
故函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對稱中心為（1，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對稱中心為（1，1），
則有f（1-x）+f（1+x）=2，
f（-98）+f（100）=f（1-99）+f（1+99）=2，
f（-97）+f（99）=f（1-98）+f（1+98）=2，
…
f（0）+f（2）=f（1-0）+f（1+1）=2，
故f（-98）+f（-97）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（99）+f（100）
=f（1）+[f（-98）+f（100）]+[f（-97）+f（99）]+…+[f（0）+f（2）]=99×2+1=199．

點評 本題考查導數(shù)的計算，關鍵是認真分析題意，掌握函數(shù)的對稱中心的計算方法．