Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+，其中a為常數(shù)，且a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=垂直，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為，求a的值．

Answer 1

解：f′（x）=+=-=（x＞0）（4分）
（1）因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=垂直，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（2）當(dāng)0＜a≤1時，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為增函數(shù)∴f（x）_min=f（1）=a-1．
∴a-1=，a=，不合（8分）
當(dāng)1＜a＜2時，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）
∵對于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數(shù)，
對于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a）=lna．
∴l(xiāng)na=，a=，（11分）
當(dāng)a≥2時，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，∴f（x）min=f（2）=ln2+-1，
∴l(xiāng)n2+-1=，a=3-2ln2，不合．
綜上，a的值為．（13分）
分析：（1）先由所給函數(shù)的表達式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由垂直直線的斜率關(guān)系列方程求a的值即可；
（2）對參數(shù)a進行分類，先研究f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解f（x）在[1，2]上的最小值問題即可，故只要先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值即得a的值．
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查分類講座思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．