Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x-3）²+（y+2）²=4，圓C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（1）設(shè)P為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，滿足：過(guò)點(diǎn)P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點(diǎn)分別為T(mén)₁、T₂，使得PT₁=PT₂，試求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若斜率為正數(shù)的直線l平分圓C₁，求證：直線l與圓C₂總相交．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，滿足：過(guò)點(diǎn)P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點(diǎn)分別為T(mén)₁、T₂，使得PT₁=PT₂，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線與圓相切的性質(zhì)及題設(shè)條件得到關(guān)于所引入?yún)��?shù)的方程，解方程，有幾個(gè)解，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)就有幾個(gè)．
（2）斜率為正數(shù)的直線l平分圓C₁，故可引入?yún)��?shù)k（＞0），用待定系數(shù)法表示出直線的方程，然后求出圓心到直線的距離，與圓的半徑作比較即可確定直線與圓的位置關(guān)系是相交．

解答：解：（1）由題設(shè)條件，圓C₁的圓心坐標(biāo)（3，-2），半徑為2，圓C₂的圓心坐標(biāo)（-m，-m-5），半徑為

2m 2+8m+10

∵過(guò)點(diǎn)P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點(diǎn)分別為T(mén)₁、T₂，使得PT₁=PT₂，
∴PC₁²-4=PC₂²-（2m²+8m+10）
若點(diǎn)P在X軸上，設(shè)P（x，0），將P（x，0）及圓心的坐標(biāo)代入整理得（2m-6）x=-2m+6，故x=-1，
即P（-1，0）
若點(diǎn)P在Y軸上，可設(shè)P（0，y），同理解得y=-1，即P（0，-1）
故滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）或（0，-1）
（2）若斜率為正數(shù)的直線l平分圓C₁，可得此直線過(guò)定點(diǎn)（3，-2），
設(shè)此直線的方程為y+2=k（x-3），整理得kx-y-3k-2=0
圓C₂的圓心到此直線的距離為d=

|-mk+m+5-3k-2|

1+k2

=

|(1-k)(m+3)|

1+k2

由于d²-r²=

(1-2k+k2)(m+3) 2

1+k2

-（2m²+8m+10）
=

(1-2k+k2)(m+3) 2-(1+k2)(2m 2+8m+10)

1+k2

=-m²-2m-1-

2k

1+k2

（m+3）²
=-（m+1）²-

2k

1+k2

（m+3）²＜0 （∵k＞0）
可得在d＜r，即直線l與圓C₂總相交

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化以及以及直線與圓總相交的證明方法，一般證明直線與圓相交，只須說(shuō)明直線上有一點(diǎn)在圓內(nèi)即可，由于本題中直線斜率k為正，不是全體實(shí)數(shù)，故本題采用了用圓心到直線的距離與圓的半徑相比較的方法來(lái)證明直線與圓相交，其規(guī)律是若圓心到直線的距離小于半徑即可說(shuō)明直線與圓相交．