Question

已知是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各兩個(gè)交點(diǎn)，分別為和．
（1）求的斜率的取值范圍；    （2）若，求的方程．

Answer 1

（1）  
（2）時(shí)，：：；
時(shí)，：：

（1）依題設(shè)，的斜率都存在，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823124417005197.gif" style="vertical-align:middle;" />過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有兩具交點(diǎn)，故方程組
          ①
有兩組不同實(shí)根，在方程①中消去，整理得
         ②
若，則方程組①只有一個(gè)解，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾．故即．方程②的判別式為
．
設(shè)的斜率為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823124417988202.gif" style="vertical-align:middle;" />過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組
     ③
有兩個(gè)不同的解．在方程組③中消去，整理得
         ④
類似前面的討論，有．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823124418207366.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，于是，與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于下列混合組成立
，解得．
故．
（2）設(shè)，則（1）的解答中方程②知

所以
　             ⑤
同理可得             ⑥
由，得．
將⑤，⑥代入上式得，
解得      ．
取時(shí)，：：；
即時(shí)，：：．