【題目】設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）.

（1）證明：、、、、都是數(shù)列的項(xiàng)；

（2）是否是數(shù)列的項(xiàng)，證明你的結(jié)論；

（3）證明：有無(wú)窮多個(gè)2的正整數(shù)冪是數(shù)列的項(xiàng).

【答案】（1）或；（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)因?yàn)?/span>，，，，，

所以，、、、、都是數(shù)列的項(xiàng).

(2)因?yàn)?/span>，所以，數(shù)列是不減的.而，

，故不是數(shù)列的項(xiàng).

(3)首先證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使得，其中，表示的小數(shù)部分.事實(shí)上，若只有有限個(gè)正整數(shù)，使得，其中，表示的小數(shù)部分.事實(shí)上，若只有有限個(gè)正整數(shù)，使得，不妨設(shè)是使得成立的最大正整數(shù).

故（），即.而是一個(gè)正的常數(shù)，故對(duì)于足夠大的正整數(shù)，有，矛盾.

對(duì)于每一個(gè)滿(mǎn)足的正整數(shù)，令.則

.

故.從而，.

這就證明了有無(wú)窮多個(gè)2的正整數(shù)冪是數(shù)列的項(xiàng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列四個(gè)命題：

①若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；

②若 （且），則的取值范圍是；

③若函數(shù)，則對(duì)任意的，都有；

④若 （且），在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.

其中所有正確命題的序號(hào)是______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某農(nóng)業(yè)合作社生產(chǎn)了一種綠色蔬菜共噸，如果在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，每噸可獲利萬(wàn)元；如果進(jìn)行精加工后銷(xiāo)售，每噸可獲利萬(wàn)元，但需另外支付一定的加工費(fèi)，總的加工（萬(wàn)元）與精加工的蔬菜量（噸）有如下關(guān)系：設(shè)該農(nóng)業(yè)合作社將（噸）蔬菜進(jìn)行精加工后銷(xiāo)售，其余在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，所得總利潤(rùn)（扣除加工費(fèi)）為（萬(wàn)元）．

（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)精加工蔬菜多少?lài)崟r(shí)，總利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，．這兩條曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形．若，記橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為、，則的取值范圍是_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)圖象如圖，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角最大，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角最小，又因?yàn)辄c(diǎn)的切線(xiàn)的斜率，點(diǎn)的切線(xiàn)斜率，直線(xiàn)的斜率，故，應(yīng)選答案C。

點(diǎn)睛：本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用。求解時(shí)充分借助題設(shè)中所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答。先將經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個(gè)過(guò)程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問(wèn)題化為直觀圖形的問(wèn)題來(lái)求解。

【題型】單選題
【結(jié)束】
9

【題目】已知、為雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，其中.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若存在使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若當(dāng)時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)l1：4x－3y＋6＝0和直線(xiàn)l2：x＝－.若拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值為2.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；

(2)若以?huà)佄锞�(xiàn)上任意一點(diǎn)M為切點(diǎn)的直線(xiàn)l與直線(xiàn)l2交于點(diǎn)N，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)．

(1)求k的值；

(2)設(shè)g(x)＝log4，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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